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GMAT考試數(shù)學(xué)求余數(shù)題型
求余數(shù)題型是GMAT考試的經(jīng)典題型，我們一般會(huì)在復(fù)習(xí)GMAT數(shù)學(xué)的時(shí)候遇到它。下面yjbys網(wǎng)小編給大家補(bǔ)充的是余數(shù)的其他知識(shí)，希望GMAT入門考生多注意：
稍微補(bǔ)充一個(gè)定理：
歐拉定理(也稱費(fèi)馬-歐拉定理)是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明，若n,a為正整數(shù)，且n,a互素，(a,n) = 1，則
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
如果 n 是質(zhì)數(shù) 那么 φ(n)=n-1 ，這個(gè)定理就變成了GMAT數(shù)學(xué)費(fèi)馬小定理。
余數(shù)是1， 意味著可以 φ(n)的倍數(shù)可以直接消除!
定理不用記憶， 我們直接做GMAT考試題目：
題一：
7^50 除以15 的余數(shù)
15分解為 3 和 5 兩個(gè)質(zhì)數(shù) 3-1=2 、 5-1=4
按照費(fèi)馬小定理，7平方 除 3 的時(shí)候余數(shù)是1 ; 7的4次方 去除 5 的余數(shù)是1
所以7 的 4次方 除 15 的時(shí)候余數(shù)是也是1
7^50 ≡ ((7^4)^12)*7^2 ≡ 7^2 = 49 ≡ 4 (mod 15)
題二：
3^50 除以 8 的余數(shù)φ(8)=4
3^50 ≡ 3^2 ≡ 1 (mod 8)
題三：
13^50除以8 的余數(shù)φ(8)=4
13^50 ≡ 13^2 ≡ 1 (mod 8)
題四：
10006 的 10003次方， 除 17 的余數(shù)10006 ≡ 10 (mod 17)
10003 ≡ 3 (mod 16)
10006 ^ 10003 ≡ 10^3 = 1000 ≡ 14 (mod 17)
關(guān)于GMAT入門歐拉函數(shù)的使用
GMAT可能考到的情況中， 除數(shù)肯定是小于20的。但是歐拉函數(shù)是靠數(shù)數(shù)數(shù)出來的(數(shù)數(shù),數(shù))，數(shù)數(shù)是考場上最容易出錯(cuò)的計(jì)算步驟!比如8的歐拉函數(shù)， 就是比8小而且和8互質(zhì)的數(shù)字(1,3,5,7)，一共4個(gè)，就是4。但是數(shù)的時(shí)候很容易把1給漏了!
那就先分析一下吧：
除數(shù)1-4 不可能考， 選項(xiàng)都不夠放呀
5 6 7 10 11 13 14 15 17 19 這些數(shù)字， 要么是質(zhì)數(shù)，要么是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積， 所以都不需要求歐拉函數(shù)。
剩下來 8 9 12 16 18 20 (這些數(shù)是4的倍數(shù)或者9的倍數(shù))， 對應(yīng)的歐拉函：
8 —— 4
9 —— 6
12 —— 4
16 —— 8
20 —— 8
記住了就可以了，特別是前3個(gè)。 或者當(dāng)場數(shù) —— 但是記住，數(shù)出來肯定是 4 、6 或者8。
我再出個(gè)簡明操作手冊
A 的 B 次方， 除以 C ，余數(shù)是多少?
附加條件 ： A ，C 互質(zhì)
解法：
1 第一步： 如果 A 比 C 大， 那么直接用A 除以 C 求出余數(shù) A' ， 把A 替換掉。
2 第二部： 求C的歐拉函數(shù)， 如果C是質(zhì)數(shù)，歐拉函數(shù)就是 C-1; 如果C是幾個(gè)不同的質(zhì)數(shù)相乘，那么就取這些質(zhì)數(shù)各自減一之后的那組數(shù)的最小公倍數(shù);如果是 8 9 12 16 18 20， 那么對應(yīng)是 4 6 4 8 6 8。 求出了的歐拉函數(shù)值為 o 。 不需要記住歐拉函數(shù)，可以做題的時(shí)候數(shù)出來。
3 第三部： 如果B比o大， 那么B直接除以o求出余數(shù)B' ， 把B替換掉。
4 第四部：直接算吧，數(shù)字已經(jīng)很小了。
舉個(gè)例子 ： 10006 的 10003次方， 除 17 的余數(shù)
5 第一步： 10006 除以 17 余 10 ， 用10 替換 10006
6 第二部： 17的歐拉數(shù)是16
7 第三部： 10003 除以16 余3， 用3替代 10003
8 第四部： 求出 10 的3次方， 除以 17 ， 余數(shù)是14
歐拉函數(shù)的定義： 正整數(shù)N的歐拉函數(shù)，就是比N小，而且和N互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。
舉個(gè)例子 10， 和 1,3,7,9 互質(zhì)， 10的歐拉函數(shù)就是4。
(數(shù)的時(shí)候不要忘了把1數(shù)進(jìn)去!)
20以內(nèi)的歐拉函數(shù)(或替代歐拉函數(shù))表：
5 —— 4 —— 質(zhì)數(shù)，后面質(zhì)數(shù)都不標(biāo)了
6 —— 2 —— 6=2x3, 1和2的公倍數(shù)，實(shí)際上也是6的歐拉數(shù)
7 —— 6
8 —— 4 —— 歐拉函數(shù)
9 —— 6 —— 歐拉函數(shù)
10 —— 4 —— 10=2x5, 1和4的公倍數(shù)， 實(shí)際上也是10的歐拉數(shù)
11 —— 10
12 —— 4 —— 歐拉函數(shù)
13 —— 11
14 —— 6 —— 14=2x7， 1和6的公倍數(shù)， 實(shí)際上也是14的歐拉數(shù)
15 —— 4 —— 15=3x5 ， 2和4的公倍數(shù)， 可替代歐拉數(shù)， 而15真正歐拉數(shù)是8
16 —— 8 —— 歐拉函數(shù)
17 —— 16
18 —— 6 —— 歐拉函數(shù)
19 —— 18
20 —— 8 —— 歐拉函數(shù)
不用記住，有個(gè)印象就可以，做題的時(shí)候數(shù)就可以。 20以內(nèi)，非質(zhì)數(shù)的歐拉函數(shù)全都是 4、6、8 ，除了6的歐拉數(shù)是2以外。
最后，如果超出歐拉定理的適用范圍, a 和n 不互質(zhì), 該怎么辦呢?
約分!約到互質(zhì)不就可以了!不過別忘了最后要把余數(shù)再乘以被約掉的數(shù)。
求： 3^7 除以 15 的余數(shù)
除數(shù)和被除數(shù)都除以3， 約分以后 ，先求 3^6 除以 5 的余數(shù)，
按照上面的方法，算出來余數(shù)是4，
再把余數(shù)成以約分的數(shù) 3
所以 3^7 除以 15 的余數(shù) 是 12。
不過你見過余數(shù)題上來先約分的么?這種題目出現(xiàn)的可能性幾乎為0。
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