高考數學等比數列知識點

　　在平平淡淡的學習中，很多人都經常追著老師們要知識點吧，知識點是指某個模塊知識的重點、核心內容、關鍵部分。掌握知識點有助于大家更好的學習。以下是小編收集整理的高考數學等比數列知識點，僅供參考，大家一起來看看吧！

　　1、由等比數列組成的新的等比數列的公比：

　　{an}是公比為q的等比數列

　　（1）若A=a1+a2+……+an

　　B=an+1+……+a2n

　　C=a2n+1+……a3n

　　則，A、B、C構成新的等比數列，公比Q=q^n

　　（2）若A=a1+a4+a7+……+a3n-2

　　B=a2+a5+a8+……+a3n-1

　　C=a3+a6+a9+……+a3n

　　則，A、B、C構成新的等比數列，公比Q=q

　　性質：

　　(1)若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am∈an=ap∈aq。

　　(2)在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。

　　(3)若“G是a、b的等比中項”則“G^2=ab(G≠0)”。

　　(4)若{an}是等比數列，公比為q1，{bn}也是等比數列，公比是q2，則

　　{a2n}，{a3n}…是等比數列，公比為q1^2，q1^3…

　　{can}，c是常數，{an/bn}，{an/bn}是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)等比數列中，連續的，等長的，間隔相等的片段和為等比。

　　(6)若(an)為等比數列且各項為正，公比為q，則(log以a為底an的對數)成等差，公差為log以a為底q的對數。

　　(7) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

　　在等比數列中，首項A1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　(8)由于首項為a1，公比為q的等比數列的通項公式可以寫成an=(a1/q)q^n，它的指數函數y=a^x有著密切的聯系，從而可以利用指數函數的性質來研究等比數列。

　　2、求通項方法：

　　(1)待定系數法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?

　　構造等比數列a(n+1)+x=2(an+x)

　　a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3

　　∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2

　　∴{an+3}為首項為4，公比為2的等比數列，所以an+3=a1/q^(n-1)=4/2^(n-1),an=2^(n+1)-3

　　(2)定義法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通項公式?

　　∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b

　　∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

　　3、實際應用：

　　等比數列在生活中也是常常運用的。

　　如：銀行有一種支付利息的方式——復利。

　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計算下一期的利息，也就是人們通常說的“利滾利”。

　　按照復利計算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)^存期。

　　4、一個推導：

　　利用錯位相減法推導等比數列的前n項和：

　　Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1)。

　　5、兩個防范：

　　(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0。

　　(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形導致解題失誤。

　　6、等比數列的判斷方法有：

　　(1)定義法：若an+1/an=q(q為非零常數)或an/an-1=q(q為非零常數且n≥2且n∈N)，則{an}是等比數列。

　　(2)中項公式法：在數列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N)，則數列{an}是等比數列。

　　(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成an=c·qn(c，q均是不為0的常數，n∈N)，則{an}是等比數列。

　　注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列。

　　7、等比中項

　　如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。

　　有關系：

　　注：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。

　　8、等比數列通項公式

　　an=a1_q’(n-1)(其中首項是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n項和

　　當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

　　當q=1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=na1

　　9、等比數列前n項和與通項的關系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　10、等比數列性質：

　　(1)若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；

　　(2)在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。

　　(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中項：q、r、p成等比數列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底指數冪后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

　　(5)等比數列前n項之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意兩項am，an的關系為an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

　　11、等比數列求和公式：

　　q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

　　q=1時，Sn=na1

　　(a1為首項,an為第n項,d為公差,q為等比)

　　這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0。注：q=1時，{an}為常數列。利用等比數列求和公式可以快速的計算出該數列的和。

　　12、等比數列求和公式推導

　　Sn=a1+a2+a3+······+an(公比為q)

　　qSn=a1q + a2q + a3q +······+ anq = a2+ a3+ a4+······+ an+ a(n+1)

　　Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　a(n+1)=a1qn

　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

　　13、等比數列定義

　　如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列（geometric progression）。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio)。

　　13、推導過程

　　因為當等比數列的公比等于1和公比不等于1的前n項和公式不同，所以，求一個等比數列的前n項時常常需要分“公比為1”和“公比不為1”兩種情況分類討論。

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