初中學校無理數的四個注意事項

　　初一時，我們認識了負數，使數的范圍擴展到了有理數，初二，我們又開始學習了無理數，把數的范圍再一次擴展到了實數。剛剛學習無理數，認為無理數不象有理數那樣，直觀易懂，總有一種虛幻的感覺，其次，無理數和有理數一樣，有自己的鮮明特征。那么怎樣學習無理數呢？請同學們注意以下四個方面。

　　一.明確無理數的存在

　　無理數來自實踐，無理數并不“無理”，也不是人們臆想出來的，它是實實在在存在的，例如：

　　（1）一個直角三角形，兩條直角邊長分別為1和2，由勾股定理知，它的斜邊長為 ；

　　（2）任何一個圓，它的周長和直徑之比為一常數 等等；

　　像 這樣的.數，在我們周圍的生活中，不是只有少數幾個，而是像有理數一樣有無限個。

　　二.弄清無理數的定義

　　教材中指出：無限不循環小數叫無理數，這說明無理數是具有兩個基本特征的小數：一是小數位數是無限的；二是不循環的。這對初學者來說有一定難度，因此，我們必須掌握它的表現形式。

　　三.掌握無理數的表現形式

　　在初中階段，無理數表現形式主要有以下幾種：

　　1.無限不循環的小數，如0.1010010001……（兩個1之間依次多一個0）

　　2.含 的數，如： ， ， 等。

　　3.開方開不盡而得到的數，如 ， 等。

　　4.某些三角函數值：如 ， 等。

　　四.辨別一些模糊認識

　　1.無限小數都是無理數

　　無限小數分：為無限循環小數和無限不循環小數，其中無限循環小數是有理數，只有無限不循環的小數才是無理數。

　　2.無理數包括正無理數、負無理數和零。

　　受思維習慣的影響，有些同學錯誤認為正無理數與負無理數之間應有零，零也是無理數，其實零是一個有理數，因此，無理數只分為正無理數和負無理數兩類。

　　3.帶根號的數是無理數。

　　是有理數2， 是有理數－2，可見帶根號的數不一定是無理數。

　　4.無理數是用根號形式表示的數。

　　是無理數，但并不是用根號形式表示的，再如：0.1010010001……（兩個1之間依次多一個），亦為不帶根號的無理數。

　　5.無理數是開方開不盡的數。

　　無理數并非由開方的結果來定義的，事實上，如 ，0.232232223……，等無理數，都不是由開方得到的。

　　6.兩個無理數的和、差、積、商仍是無理數。

　　兩個無理數的和，差，積，商不一定是無理數，如：

　　等都是有理數。

　　7.無理數與有理數的乘積是無理數。

　　這種說法是錯誤的！

　　由 等似乎易見無理數與有理數的積是無理數，就下肯定結論，錯了！

　　如 等足以推翻以上結論。

　　8.有些無理數是分數。

　　因為分數屬于有理數，且無理數與有理數是兩類不同的數，所以說，無理數不可能寫成分數，當然，有些無理數可以借助分數線來表示。

　　如 ，但一定要注意它并不是分數。

　　9.無理數比有理數少。

　　這種說法錯誤，無理數在人們生產和生活中使用的少一些，但并不是說無理數就少一些，我們平常的計算中沒有特別需要時，習慣地把一些無理數按要求通過取近似值的方法用有理數來表示，這樣似乎就覺得使用無理數少一些，實際上，無理數也有無限個且比有理數多得多。

　　10.一個無理數的平方一定是有理數。

　　這種說法錯誤，不要誤認為只有 等無理數，如 等也是無理數，顯然 等不是有理數。

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