第一學期期中考試高二數學的試題
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應的位置上.
1.已知命題 ，則 : .
2.已知函數 的導函數為 ，且滿足 ，則 = .
3.已知 ， ， ， 為實數，且 .則 是 - - 的 條件.
( 充分而不必要、必要而不充分、充要 、 既不充分也不必要)
4. 有下列四個命題：(1)若 ，則 的逆命題;(2)全等三角形的面積相等的否命題;(3)若 ，則 有實根 的逆命題;(4)若 ，則 的逆否命題。 其中真命題的個數是_______.
5.若 是純虛數，則 的值是 。
6.已知數列{an}的前n項和 ，則數列{an}成等比數列的充要條件是r= .
7.計算
8.函數 ， 的單調遞增區間是 .
9.已知復數 滿足 =2，則 的最大值為 .
10.已知函數 在 處有極大值，則 = 。
11. 右圖是函數 的導函數 的圖象，
給出下列命題：
① 是函數 的極值點;
② 是函數 的極小值點;
③ 在 處切線的斜率小于零;
④ 在區間 上單調遞增.
則正確命題的序號是 .
12.觀察下列等式： ,，根據上述規律，第五個等式為 ____________.
13.已知扇形的`圓心角為 (定值)，半徑為 (定值)，分別按圖一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為 ，則按圖二作出的矩形面積的最大值為 .
14.若存在過點 的直線與曲線 和 都相切，則 等于 .
二、解答題
15.(本小題滿分14分)
已知 為復數， 和 均為實數，其中 是虛數單位.
(Ⅰ)求復數 ;
(Ⅱ)若復數 在復平面上對應的點在第一象限，求實數 的取值范圍.
16.(本小題滿分14分)
已知 p： ，q： .
⑴ 若p是q充分不必要條件，求實數 的取值范圍;
⑵ 若非p是非q的充分不必要條件，求實數 的取值范圍.
17.(本題滿分15分) 已知二次函數 在 處取得極值，且在 點處的切線與直線 平行.
(1)求 的解析式;
(2)求函數 的單調遞增區間.
18. (本題滿分15分) 已知a、b(0，+)，且a+b=1,
求證：(1) ab (2) + (3) + . (5分+5分+5分)
19.(本小題滿分16分)
兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧 上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4;對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在 的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.
(1)按下列要求建立函數關系式：
(i)設 (rad)，將 表示成 的函數;并寫出函數的定義域. (5分)
(ii)設 (km)，將 表示成 的函數;并寫出函數的定義域. (5分)
(2)請你選用(1)中的一個函數關系確定垃圾處理廠的位置，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小? (6分)
20.(本小題滿分16分)
已知函數 的圖象過點 ，且在點 處的切線與直線 垂直.
(1) 求實數 的值;(6分)
(2) 求 在 ( 為自然對數的底數)上的最大值;(10分)
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