如何證明幾何余弦定理范文
余弦定理是幾何的定理，那該怎么證明呢?余弦定理證明哪個方法才好呢?下面就是百分網小編給大家整理的如何證明余弦定理內容，希望大家喜歡。
證明余弦定理方法一
步驟1.
在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D.
連接DA.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
類似可證其余兩個等式。
證明余弦定理方法二
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因為cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
題目中^2表示平方。
談正、余弦定理的.多種證法
正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的證明
證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有
AD=b•sin∠BCA，
BE=c•sin∠CAB，
CF=a•sin∠ABC。
所以S△ABC=a•b•csin∠BCA
=b•c•sin∠CAB
=c•a•sin∠ABC.
證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有
AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，
BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。
證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓
的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。
因為AB=AC+CB，
所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.
因為j•AC=0，
j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，
j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA .
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