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兩個重要極限分析

時間:2022-08-03 09:09:52 證明大全 我要投稿
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關于兩個重要極限分析

  兩個重要極限是很重要的知識點,關于這個的知識點要怎么證明呢?證明的過程是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的兩個重要極限的證明內(nèi)容,希望大家喜歡。

  兩個重要極限教案

  教學目的:1 使學生掌握極限存在的兩個準則;并會利用它們求極限;

  2使學生掌握利用兩個重要極限求極限的方法;

  教學重點:利用兩個重要極限求極限

  教學過程:

  一、講授新課:

  準則I:如果數(shù)列 滿足下列條件:

  (i)對 ;

  (ii) 那么,數(shù)列 的極限存在,且 。

  證明:因為 ,所以對 ,當 時,有 ,即

  ,對 ,當 時,有 ,即 ,又因為 ,所以當 時,有 ,

  即有: ,即 ,所以 。

  準則I′如果函數(shù) 滿足下列條件:

  (i)當 時,有 。

  (ii)當 時,有 。

  那么當 時, 的`極限存在,且等于 。

  第一個重要極限:

  作為準則I′的應用,下面將證明第一個重要極限: 。

  證明:作單位圓,如下圖:

  設 為圓心角 ,并設 見圖不難發(fā)現(xiàn): ,即: ,即 ,

  (因為 ,所以上不等式不改變方向)

  當 改變符號時, 及1的值均不變,故對滿足 的一切

  兩個重要極限的介紹

  第一個重要極限

  如果數(shù)列 滿足: ,就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足: ,就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴格單增或單減,以上通稱為單減數(shù)列和嚴格單減數(shù)列。

  如果 ,使得: ,就稱數(shù)列 為有上界;若 ,使得: ,就稱 有下界。

  準則Ⅱ′:單調(diào)上升,且有上界的數(shù)列必有極限。

  準則Ⅱ″: 單調(diào)下降,且有下界的數(shù)列必有極限。

  注1:由前已知,有界數(shù)列未必有極限,若加單調(diào)性,就有極限。

  2:準則Ⅱ,Ⅱ′,Ⅱ″可推廣到函數(shù)情形中去,在此不一一陳述了。

  第二個重要極限:

  作為準則Ⅱ的'一個應用,下面來證明極限 是不存在的。

  先考慮 取正整數(shù)時的情形: 對于 ,有不等式: ,即: ,

  即: (i)現(xiàn)令 ,顯然 ,因為 將其代入,所以 ,所以 為單調(diào)數(shù)列。

  (ii)又令 , 所以 ,

  即對 , 又對 所以{ }是有界的。

  由準則Ⅱ或Ⅱ′知 存在,并使用 來表示,即

  注 1:關于此極限存在性的證明,書上有不同的方法,希望同學自己看!

  2:我們可證明: ,具體在此不證明了,書上也有,由證明過程知: 。

  3:指數(shù)函數(shù) 及自然對數(shù) 中的底就是這個常數(shù) 。

  挑戰(zhàn)極限的勵志名言

  1. 命運給予我們的不是失望之酒,而是機遇之杯。因此,讓我們毫不畏懼、充滿歡愉地把握命運。——尼克松

  2. 習慣形成性格,性格決定命運。——約?凱恩斯

  3. 凡是追逐不靠自身而依賴外界才能獲得的幸福的人,命運總是和他作對。——莫羅阿

  4. 沒有準備向命運抗爭,命運便會顯示其威力。——馬基雅弗利

  5. 每個人都是自己命運的建筑師。——克勞狄烏斯

  6. 生命的樂趣是要自己尋找的',誰也沒有義務要為你做什么,要討好你什么。愛情很美好,但是,生活永遠比愛情要長,而生活,是需要智慧。樂觀,陽光,凡事往好處想。

  7. 人生短短數(shù)十載,最要緊是證明自己,不是討好他人。

  8. 浪漫是一種自我修養(yǎng),是生活的格調(diào)。不管什么年齡,總要保持一種浪漫情懷。

  9. 幸福不是因為得到的多,而是計較的少。苦苦追求沒有得到的,不懂得珍惜擁有的,結果只是徒勞傷命。

  10. 有得有失,才是人生,切忌忿忿不平。做人最忌無休止地自怨自艾,招人討嫌。愛自己,就如同朝陽升起。

  11. 失去的東西,其實從來未曾真正地屬于你,也不必惋惜。瀟灑一點。生活中無論有什么閃失,從錯處學習改過,精益求精,直至不犯同一錯誤,從不把過失推諉到他人肩膀上去。讓自己更平和一點,更豁達一點,對于身邊的過錯,讓自己更寬容一點。人人都有他的難處,何必強求于人。

  12. 壞事總是不斷發(fā)生,可還是有很多辦法來解決困難。

  13. 永遠不要忘記進修學問,拓闊胸襟。人生的煩惱會追隨你,只不過學識涵養(yǎng)可以使一個人更加理智冷靜地分析處理這些難題而已。

  14. 當命運遞給我一個酸的檸檬時,讓我們設法把它制造成甜的檸檬汁。——雨果

  15. 對于凌駕命運之上的人來說,信心是命運的主宰。——海倫·凱勒


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