活學活用之乘法分配律

　　上周數學培優課老師布置了這么幾道數學題：

　　1、(a 2b)3

　　2、(2a-b)5

　　3、(a b)7

　　4、(a-b)5

　　5、(a b)5

　　我這人比較喜歡偷懶，但不是一般的偷懶，而是總想找個捷徑。我便一遍又一遍的看起這幾道題來，看多了我還真發現有規律可循：這幾道題可以歸結為(a b)n的形式，如果能列出(a b)n展開后的代數式，那一切的問題便都迎刃而解了。找到了目標，我便踏上了尋找規律的漫長的路。

　　我從(a b)2=a2 2ab b2開始著手，得出：

　　(a b)3=(a b)(a b)2

　　=(a b)(a2 2ab b2)

　　=a3 3a2b ab2 a2b 2ab2 b3

　　=a3 3a2b 3ab2 b3

　　(a b)4=(a b)(a b)3

　　=(a b)(a2 3a2b 3ab2 b2)

　　=a4 3a3b 3a2b2 ab3 a3b 3a2b2 3ab3 b4

　　=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

　　(a b)5=(a b)(a b)4

　　=(a b)(a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4)

　　=a5 4a4b 6a3b2 4a2b3 ab4 a4b 4a3b2 6a2b3 4ab4 b5

　　=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5

　　(a b)6=(a b)(a b)5

　　=(a b)(a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5)

　　=a6 5a5b 10a4b2 10a3b3 5a2b4 ab5 a5b 5a4b2 10a3b3 10a2b4 5ab5 b6

　　=a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6

　　(a b)7=(a b)(a b)6

　　=(a b)(a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6)

　　=a7 6a6b 15a5b2 20a4b3 15a3b4 6a2b5 ab6 a6b 6a5b2 15a4b3 20a3b4 15a2b5 6ab6 b7

　　=a7 7a6b 21a5b2 35a4b3 35a3b4 21a2b5 7ab6 b7

　　推導到此處，我發現了(a b)n展開式中，各項的字母次方和均為n，但依然沒有發現各項的系數有什么規律。但隱隱約約感覺到當n為奇數和偶數時各有不同。聰明的你能告訴我嗎？

　　不過我所掌握的對付老師留下的作業已是小菜一碟了。

　　如：(a 2b)3

　　=a3 3a2(2b) 3a(2b)2 (2b)3

　　=a3 6a2b 12ab2 8b3

　　(2a-b)5

　　=(2a)5 5(2a)4(-b) 10(2a)3(-b)2 10(2a)2(-b)3 5(2a)(-b)4 (-b)5

　　=32a5-80a4b 80a3b2-40a2b3 10ab4-b5

　　看，復雜的題是否已經變得簡單了！