論數學史上的三次危機作文

　　數學常常被人們認為是自然科學中發展得最完善的一門學科，但在數學的發展史中，卻經歷了三次危機，人們為了使數學向前發展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次危機中導致無理數的產生；第二次危機發生在十七世紀微積分誕生后，無窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機發生在19世紀末，羅素悖論的產生引起數學界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數學危機。本文回顧了數學上三次危機的產生與發展，并給出了自己對這三次危機的看法，最后得出確定性喪失的結論。

　　提到數學，我有一種感覺，數學是自然中最基礎的學科，它是所有科學之父，沒有數學，就不可能有其他科學的產生。就人類發展史而言，數學在其中起的作用是巨大的，難怪有人說數學是人類科學中最美的科學。但在數學的發展史中，并不是那么一帆風順的，其中歷史上曾發生過三大危機，危機的發生促使了數學本生的發展，因此我們應該辨證地看待這三大危機。

　　第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸于學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。

　　最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。

　　我認為第一次危機的產生最大的意義導致了無理數地產生，比如說我們現在說的 ， 都無法用 來表示，那么我們必須引入新的數來刻畫這個問題，這樣無理數便產生了，正是有這種思想，當我們將負數開方時，人們引入了虛數i（虛數的產生導致復變函數等學科的產生，并在現代工程技術上得到廣泛應用），這使我不得不佩服人類的智慧。但我個人認為第一次危機的真正解決在1872年德國數學家對無理數的嚴格定義，因為數學是很強調其嚴格的邏輯與推證性的。

　　第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

　　直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。

　　而我自己的理解是一個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說 ，但n個1/n相乘就為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到 等情況時，我們可以用洛比達法則反復求導來考查極限，也可以用Taylor展式展開后，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。

　　第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。

　　我從很早以前就讀過“理發師悖論”，就是一位理發師給不給自己理發的人理發。那么理發師該不該給自己理發呢？還有大家熟悉的“說謊者悖論”，其大體內容是：一個克里特人說：“所有克里特人說的每一句話都是謊話。”試問這句話是真還是假?從數學上來說，這就是羅素悖論的一個具體例子。

　　羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有R R。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則， 否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

　　從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機到此緩和下來。

　　現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集 ，在經過一系列一元和二元運算而得來得。而在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。

　　我們應該怎樣看待這三次數學危機呢？我認為數學危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論得到較快的發展，數學基礎的進步更快，數理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現，而且今后仍然會這樣。就拿悖論的出現來說，從某種意義上并不是什么壞事，它預示著更新的創造和光明，推進了科學的進程，我們應用辨證的觀點去看待他。

　　通過數學的發展史和這三次數學危機，我越來越感到M 克萊因教授著的一本書，是關于確定性的喪失，其中書中說道: 數學需要絕對的確定性來證實自身嗎？特別是，我們有必要確保某一理論是相容的或確保其在使用之前是通過非經驗論時期絕對可靠的直覺得到的嗎？在其他科學中，我們并沒要求這樣做。在物理學中所有的定理都是假設的，一個定理，只要能夠作出有用的預告我們就采用它。而一旦它不再適用，我們就修改或丟棄它。過去，我們常這樣對待數學定理，那時矛盾的發現將導致數學原則的變更，盡管這些數學原則在矛盾發現前還是為人們所接受的。因此我們看問題的觀念應該改變一下，數學是不確定性的。

　　不管數學以后向何處發展，但就數學仍然是可用的最好知識的典范。數學的成就是人類思想的成就，作為人類可以達到何種成就的證據，它給予人類勇氣和信心，去解決那些一度看上去不可測知的宇宙秘密，去制服那些人類易于感染的致命疾病，去質疑去改善那些人們生活中的政治體系，因此我們說數學在這個大自然中是無處不在的，數學在人類發展中的作用也是不可估量的。

　　參考文獻：

　　1.梁宗巨 世界數學史簡編 遼寧人們出版社

　　2.朱學智等 數學的歷史思想和方法 哈爾濱出版社

　　3.袁小明等 數學思想發展簡史 高等教育出版社

　　4.確定性的喪失 M 克萊因 湖南科技出版社

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