關于一元二次方程的初中奧數問題
一、增長率問題
例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.
解 設這兩個月的平均增長率是x.，則根據題意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，
即(1+x)2=1.21，解這個方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).
答 這兩個月的平均增長率是10%.
說明 這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數和問題中每一個數據的意義，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.
二、商品定價
例2 益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出(350-10a)件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件?每件商品應定價多少?
解 根據題意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，
解這個方程，得a1=25，a2=31.
因為21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合題意，舍去.
所以350-10a=350-10×25=100(件).
答 需要進貨100件，每件商品應定價25元.
說明 商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點.
三、儲蓄問題
例3 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的'90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.(假設不計利息稅)
解 設第一次存款時的年利率為x.
則根據題意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.
解這個方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能為負數，所以將x2≈-1.63舍去.
答 第一次存款的年利率約是2.04%.
說明 這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.
四、趣味問題
例4 一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎?
解 設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.
則根據題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.
解這個方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.
所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.
答 渠道的上口寬2.5m，渠深1m.
說明 求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關系，列出方程求解.
五、古詩問題
例5 讀詩詞解題：(通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡).
大江東去浪淘盡，千古風流數人物;
而立之年督東吳，早逝英年兩位數;
十位恰小個位三，個位平方與壽符;
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜?
解 設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x-3.
則根據題意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解這個方程，得x=5或x=6.
當x=5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去;
當x=6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.
答 周瑜去世的年齡齡為36歲.
說明 本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真口味.
六、象棋比賽
例6 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領司有四個同學統計了中全部選 手的得分總數，分別是1979，1980，1984，1985.經核實，有一位同學統計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.
解 設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n-1)個選手比賽一局，共計n(n-1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統計了一次，因此實際比賽總局數應為n(n-1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n-1)分.顯然(n-1)與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n-1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).
答 參加比賽的選手共有45人.
說明 類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.
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