數學題解析特殊化方法

　　您現在正在閱讀的小學數學解題策略——特殊化方法文章內容由收集!本站將為您提供更多的精品教學資源!小學數學解題策略——特殊化方法數學大師希爾伯特曾講:“在討論數學問題時,我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。我們尋找一個答案而未能成功的原因就在于這樣的事實，即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題沒有完全解決，這一切都有賴于找出這些比較容易的問題，并且用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們。”由此可見，當我們遇到帶有一般性問題的題目感到束手無策時，采用特殊化策略就是一個較好的選擇。

　　1 特殊化的基本思想

　　特殊化策略即視原問題為一般，構造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決。特殊化作為化歸策略，基本思想就是：相對于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決。因此，人們在對某個一般性的數學問題解決有困難時，常常會想到先解決它的特殊情況，然后再把解決特殊情況的方法或結果應用或推廣到一般問題之上，而獲得一般性問題的解決。正如波利亞所說：“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集或僅僅一個對象。”因此，特殊化常表現為范圍的收縮或限制，即從較大范圍的問題向較小范圍的問題過渡，或從某類問題向其子類問題的過渡。較為理想的特殊是其自身容易解決，且從其解決過程中又易發現或得到一般性問題的解法。所以，特殊化策略的關鍵是能否找到一個最佳的特殊化問題。

　　2 特殊化的具體運用

　　特殊化策略是一種“退”的策略，所謂“退”，可以從一般退到特殊，多數退到少數，空間退到平面，抽象退到具體……，正如華羅庚先生所說：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，把簡單的、特殊的問題搞清楚了，并從這些簡單的問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發現一般問題的結論，或者得到化歸為簡單問題的途徑，從而再‘進’到一般性問題上來。”

　　讓我們通過一些具體的例子來體會特殊化策略。

　　例1：某地民兵預備役組織越野賽，需從總部將38件障礙物運往距總部3千米處，并從該處向前每隔500米，放置一件障礙物，已知一輛車一次能運4件障礙物，若用一輛車全部運完返回總部，則所運行的全部路程至少是多少千米？

　　分析與解：此題要運送的障礙物較多，要想很快找到一輛車在運完所有障礙物的同時走的路程又最少的.辦法很難。此時，我們不妨先“退”到“不失去重要性的地方”，將問題簡單化，題中38不能為4整除，依此情境，我們不妨假設若障礙物為5件，怎樣運才能完成任務又使走的路程最少呢？由于要運的障礙物較少，通過計算不難得出：若一輛車裝滿后按順序將障礙物送出放置并按此思路將障礙物放完，最后返回總部要行：(3+0.5×3)×2+(3+0.5×4)×2=19(千米)；而若此輛車裝滿后先將障礙物直接送至距總部最遠處再回頭按順序放置，并按此思路將障礙物放完最后返回總部則要行：(3+0.5×4)×2+(3+0.5)×2=17(千米)，顯然后者比前者要少行0.5×2×2=2(千米)，再與其它運法相比較，不難得出：17千米的路程的確為最少。

　　至此，原題的解題思路已變得相當明朗了：對于38件障礙物，一輛車勢必至少要運10次，第一次先將4件障礙物送至距總部最遠處放置再回到總部需行：[3+0.5×(38－1)]×2=43(千米)，以后每次比前次要少行0.5×4×2=4(千米)，直至第十次此輛車只裝2件障礙物送出放置好并回總部要行：(3+0.5)×2=7(千米)，至此一輛車全部運完障礙物并返回總部所運行的全部路程至少應為：43+39+35+31+27+23+19+15+11+7=250(千米)。

　　例2 在平面上畫出100條直線，這些直線最多可把平面分成多少個小區域？

　　分析與解：一下子看出本題的計算方法或者結果都是很難的，我們不妨“退”到最簡單的情況進行觀察，逐步找到規律，然后得出答案來。

　　平面上如果沒有直線，則整個平面就只有1個區域；如果畫出第1條直線，則平面被分成2個區域，比剛才增加了1個區域；如果再畫1條直線，則共有2條直線，平面最多可以被分成4個區域（要想使分成的區域盡可能多，就應該使所畫的直線與前面已畫的直線既不平行又無三線共點的情況發生），比剛才又增加了2個區域；如果再畫第3條直線，則平面最多可以被分成7個區域，又比剛才又增加了3個區域，……，依此類推，當畫出第k條直線時，平面將最多可以增加k個區域，這樣觀察得出的規律正確嗎？

　　顯然，如果要使分得的區域盡可能的多，畫的這些直線應滿足兩個條件：（1）任何兩條直線都不平行；（2）任何三條直線都不經過同一個點，即沒有三條共點的情況出現。

　　事實上，當平面上已經有了（k－1）條直線時，如果再畫出第k條直線，則直線將與前面畫出的（k－1）條直線都相交且無三線共點，于是這條直線被前（k－1）條直線分成了k段，由于每段都把它所經過的平面區域分成了兩個區域，所以共計增加了k個區域。故在平面上畫出100條直線，這些直線最多可以把平面分成1+1+2+3+…+100=5051（個）區域。

　　例3 有一個繁華的商場，一天之中接待的顧客數以千計，川流不息。如果商場有一個重要廣告，想使所有的顧客都能聽到；又已知當天任意的三個顧客中，至少有兩個在商場里相遇。問商場至少廣播幾次，就能使這一天到過商場的所有顧客都能聽到。

　　分析與解：顧客人數為n=1，2時，不能提供一般情況的啟示，因為最本質的條件“任意3個顧客中，至少有兩個在商場里相遇”沒有用上。考慮n=3。

　　當第一個顧客到來時，為了使廣播的次數少一些，可以先不忙開廣播，一直等到有人要離開商場時，則必須開播。可見第一次廣播應在第一個顧客將離而未離商場之前。

　　第一次開播時，第二、三位顧客可能到了也可能未到，考慮最壞的情況，他們還未進來或還未全進來，那么第二次開播應在第三個顧客進來之后。

　　現在的問題是，第二個顧客會不會在第一個顧客離去之后才進來，而又在第三個顧客進來之前就離開，若這樣，他就沒有聽到任何一次廣播了。但這是不會發生的，根據“當天任意的三個顧客中，至少有兩個在商場里相遇”，他一定會在第一個顧客離開之前進來，或在第三個顧客進來之后才離開，因此，他一定聽到廣播。

　　所以，商場只要廣播兩次就夠了：第一次開播在第一個顧客即離開之時，第二次開播在最后一個顧客進來之時。

　　這個思路對任意的n≥3也成立。設第一個離去的顧客為A，最后一個進來的顧客為B，若按上述方法廣播兩次之后，仍有顧客C沒有聽見，則C必在A離去之后才進來，且在B進來之前就離去，于是C與A、B均未相遇。這與已知條件矛盾。所以，商場兩次廣播之后，全體顧客都聽到了。

　　由以上三例可以看出，運用特殊化策略解題，可采用從簡單化、特殊化入手，化歸為簡單情形、特殊情形，通過對簡單情形、特殊情形的分析、觀察與處理，從而獲得對復雜問題、一般問題的解決。

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