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2015屆高三數學模擬試題
第一部分 選擇題(共40分)
一、選擇題:(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 設集合 ≤ ≤ , ≤ ≤ ，則( )
2. 計算: ( )
A. B.- C. 2 D. -2
3. 已知 是奇函數，當 時， ，則 ( )
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 ,則 的充要條件是( )
A. B. C. D.
5. 若某一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為 ，則該幾何體的俯視圖可以是( )
6. 已知函數 ，則下列結論正確的是( )
A. 此函數的圖象關于直線 對稱 B. 此函數的最大值為1
C. 此函數在區間 上是增函數 D. 此函數的最小正周期為
7. 某程序框圖如圖所示，該程序運行后，
輸出的 值為31，則 等于( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. 已知 、 滿足約束條件 ，
若 ，則 的取值范圍為( )
A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]
第二部分 非選擇題(共100分)
二、填空題(本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分，每小題5分，滿分30分)。
(一)必做題:第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答。
9. 已知等比數列 的公比 為正數，且 ，則 = .
10. 計算 .
11. 已知雙曲線 的一個焦點是( )，則其漸近線方程為 .
12. 若 n的展開式中所有二項式系數之和為64，則展開式的常數項為 .
13. 已知
依此類推，第 個等式為 .
(二)選做題:第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的只算前一題得分。
14. (坐標系與參數方程選做題)已知曲線C的參數方程為 (θ為參數)，則曲線C上的點到直線3 -4 +4=0的距離的最大值為
15.(幾何證明選講選做題)如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB
延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC，
若∠CPA=30°，PC=_____________
三、解答題:本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
如圖，角 為鈍角，且 ，點 、 分別是在角 的
兩邊上不同于點 的動點.
(1)若 =5， = ，求 的長;
(2)設 的值.
17.(本小題滿分12分)
某連鎖超市有 、 兩家分店，對該超市某種商品一個月30天的銷售量進行統計: 分店的銷售量為200件和300件的天數各有15天; 分店的統計結果如下表:
銷 售量(單位:件) 200 300 400
天 數 10 15 5
(1)根據上面統計結果，求出 分店銷售量為200件、300件、400件的頻率;
(2)已知每件該商品的銷售利潤為1元， 表示超市 、 兩分店某天銷售該商品的利潤之和，若以頻率作 為概率，且 、 兩分店的銷售量相互獨立，求 的分布列和數學期望.
18.(本小題滿分14分)
如圖， 為矩形， 為梯形，平面 平面 ，
， .
(1)若 為 中點，求證: ∥平面 ;
(2)求平面 與 所成銳二面角 的大小.
19.(本小題滿分14分)
已知數列 中， ，且當 時， ， .
記 的階乘 !
(1)求數列 的通項公式;(2)求證:數列 為等差數列;
(3)若 ，求 的前n項和.
20.(本小題滿分14分)
已知橢圓 : ( )的離心率為 ，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設橢圓 的左焦點為 ，右焦點為 ，直線 過點 且垂直于橢圓的長軸，動直線 垂直 于點 ，線段 的垂直平分線交 于點M，求點M的軌跡 的方程;
(3)設O為坐標原點，取 上不同于O的點S，以OS為直徑作圓與 相交另外一點R，求該圓面積的最小值時點S的坐標.
21.(本小題滿分14分)
已知函數 ，函數 是函數 的導函數.
(1)若 ，求 的單調減區間;
(2)若對任意 ， 且 ，都有 ，求實數 的取值范圍;
(3)在第(2)問求出的實數 的范圍內，若存在一個與 有關的負數 ，使得對任意 時 恒成立，求 的最小值及相應的 值.
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