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初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試卷及答案
期中考試是一個(gè)學(xué)期中旬，針對(duì)上半個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)效果的一次考試，大家要重視。下面百分網(wǎng)小編為大家?guī)硪环莩醵蟽?cè)數(shù)學(xué)的期中考試卷，文末附有答案，有需要的同學(xué)可以看一看，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題(本題8小題，每小題3分，共24分)
1.下列圖案中軸對(duì)稱圖形是( )
A. B. C. D.
2.下列各條件中，不能作出惟一三角形的是( )
A.已知兩邊和夾角 B.已知兩角和夾邊
C.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 D.已知三邊
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，則其直角邊BC的長(zhǎng)為( )
A.6cm B.100cm C.15cm D.10cm
4.△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若添加條件∠B=∠C，則可用( )
A.SSS B.AAS C.HL D.不確定
5.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
6.如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.圖中共有三個(gè)等腰三角形 B.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上
C.AC+CD=AB D.BD=2CD
二、解答題(共2小題，滿分6分)
8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC=26，BD=24，則線段MN長(zhǎng)為__________.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).給出以下五個(gè)結(jié)論：
(1)AE=CF;(2)∠APE=∠CPF;(3)三角形EPF是等腰直角三角形;(4)S四邊形AEPF= S△ABC;(5)EF=AP，
其中正確的有__________個(gè).
三、操作與計(jì)算(本題共2小題，共12分)
11.兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處?請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)
12.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，點(diǎn)P是△ABC三條邊上的任意一點(diǎn).若△ACP為等腰三角形，在圖中作出所有符合條件的點(diǎn)P，要求：
①尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡;
②若符合條件的點(diǎn)P不只一個(gè)，請(qǐng)標(biāo)注P1、P2…
四、解答題(本題共6小題，共54分)
13.小強(qiáng)想知道廣場(chǎng)上旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到旗臺(tái)上還多0.8米，當(dāng)他把繩子的下端在旗臺(tái)上拉開2米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸旗臺(tái)面，你能幫他算出來這根旗桿的高嗎?
14.已知：如圖，點(diǎn)E、A、C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E.
(1)求證：△ABC≌△CED;
(2)若∠B=25°，∠ACB=45°，求∠ADE的度數(shù).
15.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)求證：AB+AD=2AE.
16.如圖，AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高，點(diǎn)D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合)，以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證：△ACD≌△BCE;
(2)當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，求△CEF的面積.
17.課本等腰三角形的軸對(duì)稱性一節(jié)，我們最后通過直角三角形紙片折疊發(fā)現(xiàn)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.
(1)小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個(gè)特殊的直角三角形，其中∠BAC為直角，AD為斜邊BC上的中線，∠B=30°.它證明上面定理思路如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD ，連結(jié)BE，再證△ABC≌△BAE，你認(rèn)為小聰能否完成證明?__________(只需要填“能”或“不能”);
(2)小聰同學(xué)還想借助圖②，任意的Rt△ABC為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明或推翻結(jié)論AD= BC，請(qǐng)你幫助小聰同學(xué) 完成;
(3)如圖③，在△ABC中AD⊥BC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中線AE的長(zhǎng)度.
18.如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.
(1)在圖1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想;
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，請(qǐng)說明理由.
參考答案：
一、選擇題(本題8小題，每小題3分，共24分)
1.下列圖案中軸對(duì)稱圖形是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意;
B 、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意;
C、不是軸對(duì) 稱圖形，不符合題意;
D、是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條，符合題意.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
2.下列各條件中，不能作出惟一三角形的是( )
A.已知兩邊和夾角 B.已知兩角和夾邊
C.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 D.已知三邊
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;全等三角形的判定.
【分析】考慮是否符合三角形全等的判定即可.
【解答】解：A、B、D三個(gè)選項(xiàng)分別符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形;
C、只有涉及的兩個(gè)三角形同為銳角三角形或者鈍角三角形或者直角三角形時(shí)，才成立.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷方法，在已知兩邊的情況下，對(duì)應(yīng)的兩邊必須夾角，才能判斷三角形全等.
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，則其直角邊BC的長(zhǎng)為( )
A.6cm B.100cm C.15cm D.10cm
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出直角邊BC的長(zhǎng)即可.
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，
由勾股定理得：BC= = =10(cm);
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理;熟練掌握勾股定理，已知直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)即可求出另一直角邊長(zhǎng).
4.△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若添加條件∠B=∠C，則可用( )
A.SSS B.AAS C.HL D.不確定
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB=∠ADC=90°，再加上條件∠B=∠C，公共邊AD=AD可利用AAS進(jìn)行判定.
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
5.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)已知條件“AB=AC，D為BC中點(diǎn)”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，推出△AOE≌△EOC，從而根據(jù)“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏.
【解答】解：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD;
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE;
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD;
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB;
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形 的判定方法;這是一道考試常見題，易錯(cuò)點(diǎn)是漏掉△ABO≌△ACO，此類題可以先根據(jù)直觀判斷得出可能全等的所有三角形，然后從已知條件入手，分析推理，對(duì)結(jié)論一個(gè)個(gè)進(jìn)行論證.
6.如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.圖中共有三個(gè)等腰三角形 B.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上
C.AC+CD=AB D.BD=2CD
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根據(jù)等腰三角形的判定即可判斷A;根據(jù)AD=BD即可判斷B;在AB上截取AE=AC，連接DE，證△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判斷C、D.
【解答】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，
∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB=36°，
即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、在AB上截取AE=AC，連接DE，
在△EAD和△CAD中
∴△EAD≌△CAD，
∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，
∵∠B=36°，
∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，
∴DE=BE，
即AB=AE+BE=AC+CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 ;
D、∵CD=DE=BE，DE+BE>BD，
∴BD<2DC，故本選項(xiàng)正確;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度.
二、解答題(共2小題，滿分6分)
8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC=26，BD=24，則線段MN長(zhǎng)為5.
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì);勾股定理.
【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BM=DM=5，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BN=4，根據(jù)勾股定理得到答案.
【解答】解：連接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點(diǎn)，
∴BM= AC，DM= AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中點(diǎn)，
∴BN=DN= BD=12，
∴MN= =5，
故答案為：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).給出以下五個(gè)結(jié)論：
(1)AE=CF;(2)∠APE=∠CPF;(3)三角形EPF是等腰直角三角形;(4)S四邊形AEPF= S△ABC;(5)EF=AP，
其中正確的有4個(gè).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)通過證明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
(2)由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出結(jié)論;
(3)由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出結(jié)論;
(4)由S四邊形AEPF=S△APE+S△APF.就可以得出S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出結(jié)論，
(5)由條件知AP= BC，當(dāng)EF是△ABC的中位線時(shí)才有EF=AP，其他情況EF≠AP.
【解答】解：(1)∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF.故(1)正確.
∵AB=AC，∠BAC=90° ，
∴∠B=∠C=45°.
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=CP=AP= BC.∠BAP=∠CAP=45°.
∴.∠BAP=∠C.
在△AEP和△CFP中
，
∴△AEP≌△CFP(ASA)，
∴AE=CF，PE=PF，S△AEP=S△CFP，故(2)正確.
∴△EPF是等腰直角三角形.故(3)正確.
∵S四邊形AEPF=S△APE+S△APF.
∴S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC= S△ABC.故(4)正確.
∵△ABC是等腰直角 三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP= BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP ，故(5)錯(cuò)誤;
∴正確的共有4個(gè).
故答案為4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.
三、操作與計(jì)算(本題共2小題，共12分)
11.兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處?請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法，只保留 作圖痕跡)
【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.
【分析】到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C.
【解答】解：如圖：點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及尺規(guī)作圖的方法是解決問題的關(guān)鍵.
12.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，點(diǎn)P是△ABC三條邊上的任意一點(diǎn).若△ACP為等腰三角形，在圖中作出所有符合條件的點(diǎn)P，要求：
①尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡;
②若符合條件的點(diǎn)P不只一個(gè)，請(qǐng)標(biāo)注P1、P2…
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;等腰三角形的判定.
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出符合題意的答案.
【解答】解：如圖，共4個(gè)點(diǎn)，分別為P1、P2、P3、P4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.
四、解答題(本題共6小題，共54分)
13.小強(qiáng)想知道廣場(chǎng)上旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到旗臺(tái)上還多0.8米，當(dāng)他把繩子的下端在旗臺(tái)上拉開2米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸旗臺(tái)面，你能幫他算出來這根旗桿的高嗎?
【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出旗桿的高即可.
【解答】解：設(shè)這根旗桿的高為x米，則繩子的長(zhǎng)為(x+0.2)米，
依題意，得方程 x2+22=(x+0.2)2
解得：x=9.9.
答：這根旗桿的高為9.9米.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.
14.已知：如圖，點(diǎn)E、A、C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E.
(1)求證：△ABC≌△CED;
(2)若∠B=25°，∠ACB=45°，求∠ADE的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由AB∥CD就可以得出∠BAC=∠ECD，由ASA就可以得出△ABC≌△CED;
(2)根據(jù)△ABC≌△CED就可以得出∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，求出∠ADC的值就可以得出∠ADE的值.
【解答】解：(1)∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD.
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED(ASA);
(2)∵△ABC≌△CED，
∴∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA.
∵∠B=25°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=110°.∠EDC=45°，
∴∠CDA=35°.
∴∠ADE=10°.
答：∠ADE=10°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
15.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)求證：AB+AD=2AE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到結(jié)論;
(2)由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵AC是角平分線，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF;
(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)
=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解題的關(guān)鍵.
16.如圖，AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高，點(diǎn) D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重 合)，以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證：△ACD≌△BCE;
(2)當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，求△CEF的面積.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)由△ABC和△CDE是等邊三角形，用“SAS”證得△ACD≌△BCE;
(2)首先作CP⊥BF于點(diǎn)P，由∠CBE=30°，求得CP的長(zhǎng)，繼而求得答案.
【解答】解：(1)∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°，
同理可證CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)由(1)得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒為直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2，
又因?yàn)辄c(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合，
所以當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，∠F只能為頂角，
如圖，作CP⊥BF于點(diǎn)P，
由∠CBE=30°，
得CP= BC=1，
因?yàn)镃F=EF=2，
所以S△CEF= ×2×1=1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
17.課本等腰三角形的軸對(duì)稱性一節(jié)，我們最后通過直角三角形紙片折疊發(fā)現(xiàn)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.
(1)小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個(gè)特殊的直角三角形，其中∠BAC為直角，AD為斜邊BC上的中線，∠B=30°.它證明上面定理思路如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)BE，再證△ABC≌△BAE，你認(rèn)為小聰能否完成證明?能(只需要填“能”或“不能”);
(2)小聰同學(xué)還想借助圖②，任意的Rt△ABC為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明或推翻結(jié)論AD= BC，請(qǐng)你幫助小聰同學(xué)完成;
(3)如圖③，在△ABC中AD⊥BC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中線AE的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】(1)如圖①所示.由三角形內(nèi)角和定理可求得∠ACB=60°.然后證明△ACD≌△EBD，從而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再證明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD;
(2)如圖②所示：延 長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD，連結(jié)BE，先證明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，從而可證明∠BAC=∠ABE，然后證明△ABC≌△BAE，從而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD;
(3)根據(jù)勾股定理得：AC2=5，AB2=20，于是可得到AC2+AB2=BC2.于是得到△ABC是直角三角形，根據(jù)結(jié)論可知△ABC的中線AE的長(zhǎng)度= BC= .
【解答】解：(1)能.
理由：如圖①所示.
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°.
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD.
∴∠EBD=∠ACD=60° ，BE=AC.
∴∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAC.
∴BC=AE.
∴BC=2AD.
∴AD= BC.
(2)證明：如圖②所示：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD，連結(jié)BE.
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD.
∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE.
在△ABC和△BAE中，
，
∴△ABC≌△BAE.
∴AE=BC.
∴BC=AE=2AD
∴ .
(3)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根據(jù)勾股定理得：AC2= =5，AB2= =20.
∵AC2=5，AB2=20，BC2=(1+4)2=25，
∴AC2+AB2=BC2.
∴△ABC是直角三角形.
∴△ABC的中線AE的長(zhǎng)度= BC= .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，根據(jù)△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解題的關(guān)鍵.
18.如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.
(1)在圖1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想;
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);平移的性質(zhì).
【專題】探究型.
【分析】(1)根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論.
(2)要證BQ=AP，可以轉(zhuǎn)化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP;要證明BQ⊥AP，可以證明∠QMA=90°，只要證出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可證出.
(3)類比(2)的證明就可以得到，結(jié)論仍成立.
【解答】解：(1)AB=AP;AB⊥AP;
(2)BQ=AP;BQ⊥AP.
證明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°.
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°.
∴CQ=CP.
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=AP.
②如圖，延長(zhǎng)BQ交AP于點(diǎn)M.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2.
∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°.
∴∠QMA=90°.
∴BQ⊥AP;
(3)成立.
證明：①如圖，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°.
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°.
∴CQ=CP.
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP.
∴BQ=AP.
②如圖③，延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，則∠PBN=∠CBQ.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQ C=∠APC.
∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
又∵∠CBQ=∠PBN，
∴∠APC+∠PBN=90°.
∴∠PNB=90°.
∴QB⊥AP.
【點(diǎn)評(píng)】證明兩個(gè)線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題.證明垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線所形成的角是直角來解決.
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