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變量與函數的教學設計

　　一．內容和內容解析

變量與函數的教學設計

　　【內容】變量與函數的概念

　　【內容解析】

　　“14.1變量與函數”是人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設計是第1課時，引導學生從生活實例中抽象出常量、變量與函數等概念，其中函數的概念是本節核心內容．函數概念的核心是兩個變量間的特殊對應關系：（1）由哪一個變量確定另一個變量；（2）唯一對應關系.如果直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另一個與之有關的量x，從而達到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉化思想．

　　本節課是函數入門課，首先必須準確認識變量與常量的特征，初步感受到現實世界各種變量之間聯系的復雜性，同時感受到研究主要從化繁就簡入手，在初中階段主要研究兩個變量之間的特殊對應關系．本設計把重點放在認識“兩個變量間的特殊對應關系：由哪一個變量確定另一變量；唯一確定的含義．” 而函數圖象較為直觀形象，有助于學生理解函數的概念，因此把函數圖象中的部分內容提前到本課時學習．

　　二．目標和目標解析

　　【目標】理解常量、變量與函數的概念．

　　【目標解析】

　　（１）借助簡單實例，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數學問題，能指出具體問題中的常量、變量．初步理解存在一類變量可以用函數方式來刻畫，能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數關系．初步理解對應的思想，體會函數概念的核心是兩個變量之間的特殊對應關系，能判斷兩個變量間是否具有函數關系．

　　（２）借助簡單實例，引領學生參與變量的發現和函數概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數學知識的方法，感知現實世界中變量之間聯系的復雜性，數學研究從最簡單的情形入手，化繁為簡.

　　（３）從學生熟悉、感興趣的實例引入課題，引領學生參與變量的發現和函數概念的形成過程,體驗“發現、創造”數學知識的樂趣．學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數學知識，感知數學是有用、有趣的學科.

　　三、教學問題診斷分析

　　變量與函數的概念把學生由常量數學的學習引入變量數學學習中．學生知道代數式中的字母可以表示數，方程中的未知數求出來后也是一個“已知數”，從“靜態”的角度理解字母所表示的數，另外，學生在日常生活中也接觸到函數圖象、兩個變量的關系等樸素的函數關系的生活實例．但是學生初次接觸函數的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準確含義．

　　【教學重點】借助簡單實例，從兩個變量間的特殊對應關系抽象出函數的概念．

　　【教學難點】怎樣理解“唯一對應”．

　　四、教學過程設計

　　（一）導言：

　　1.《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南根據案發現場的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？

　　2.我們班中同學A與職業相撲運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

　　問題1中都涉及兩個量的關系，腳印確定，對應的身高有多個取值；問題2涉及多個量的關系．這一節課我們研究兩個量的關系，研究怎樣由一個量來確定另一個量．

　　【設計意圖】從學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內指明本節課的學習內容．現實世界中各種量之間的聯系紛繁復雜，應向學生說明我們數學的研究方法是化繁就簡，本節課只關注一類簡單的問題．

　　（二）概念的引入

　　1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元.

　　（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是元；若售出205張、310張呢？

　　（2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= .

　　思考：

　　（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨的變化而變化；

　　（2）當售出票數x取定一個確定的值時，對應的票房收入y的取值是否唯一確定？

　　2．成績問題：如圖是某班同學一次數學測試中的成績登記表：這一次數學測試中，13號的成績為______；15號的成績為______；16號的成績為______；23號的成績為______．

　　思考：

　　（1）測試成績隨________的變化而變化；

　　（2）任意確定一個學號x，對應的成績f的取值是否唯一確定？

　　3.氣溫問題：圖一是撫順春季某一天的氣溫Ｔ隨時間t變化的圖象，看圖回答：

　　（1）這天的8時的氣溫是 ℃，14時的氣溫是 ℃，最高氣溫是 ℃，最低氣溫是 ℃；

　　（3）這一天中，在4時~12時，氣溫（），在16時~24時，氣溫（）.

　　A.持續升高 B.持續降低 C.持續不變

　　思考：

　　（1）天氣溫度隨的變化而變化，即T隨的變化而變化；

　　（2）當時間t取定一個確定的值時，對應的溫度T的取值是否唯一確定？

　　【設計意圖】這三個問題中都含有變量之間的單值對應關系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數等概念，通過這種從實際問題出發開始討論的方式，使學生體驗從具體到抽象地認識過程.問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法.

　　（三）概念的界定

　　思考：上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？

　　在上面的三個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元……）．并且當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定，且它的對應值只有一個．

　　教師根據學生的回答，在黑板上板書：

　　師生對上述三個問題進行分析，找出它們的共性，歸納出函數的概念．

　　【設計意圖】(1)如何把具體的實例進行抽象，形式化為數學知識是本課的關鍵．這里提出的問題“上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？”是一個關鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學生經歷數學概念的形成過程，引導學生認識為什么要引進變量、常量、函數的概念，逐步了解如何給數學概念下定義．(2)此處板書是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個量的對應關系”．

　　問題回顧：指出前面三個問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數.

　　【設計意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數的概念．

　　例1 一個三角形的底邊為5，這一邊上的高h可以任意伸縮．

　　（１）高h的變化會引起三角形中哪些量發生變化？這些變量是高h的函數嗎？

　　（２）試求面積s隨h變化的關系式，并指出其中的常量、變量與自變量。

　　例2如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發生變化？這些變量是半徑r的函數嗎？

　　【設計意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態演示．此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變量在動態變化過程中的依存關系．

　　例３問題1中，售出票數是票房的函數嗎？問題２中，學號x是成績f的函數嗎？

　　【設計意圖】（１）引導學生從逆向思維的角度進行思考，更全面地理解函數的概念．（２）培養學生逆向思維的習慣．（３）讓學生對這三個問題留下更深刻的印象，特別是“成績問題，”它將在函數這一章書的教學中反復被引用，幫助學生深入理解函數的概念．

　　（四）概念鞏固

　　1．購買一些簽字筆，單價3元，總價為y元，簽字筆為x支，根據題意填表：

　　（1）y隨x變化的關系式y = ，是自變量，是的函數；