2017湖南省郴州市高考數(shù)學模擬試卷及答案
高考數(shù)學選擇題主要考察考生基礎知識的理解與掌握、基本解題技能的熟練與運用,所以我們應該通過多做數(shù)學高考模擬試卷來提升自己的熟練度，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2017湖南省郴州市高考數(shù)學模擬試卷，希望能幫到你。
2017湖南省郴州市高考數(shù)學模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
2.設z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，若復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
3.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
4.運行如圖所示的程序，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
5.某地市高三理科學生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
6.已知函數(shù)f(x)= sinx+3cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F(xiàn)為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
8.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線x+y﹣1=0對稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導函數(shù)，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值范圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
10.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設向量 =m +n (m，n為實數(shù))，則m+n的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
12.已知函數(shù) ，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域為[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
14.已知 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中含x的系數(shù)為 .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內(nèi)的任意一點M，平面內(nèi)有一點D使得 ，則 = .
16.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(12分)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點.
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長.
18.(12分)2017年郴州市兩會召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會熱點大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問題時百姓最為關心的熱點，參與調(diào)查者中關注此問題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中隨機選出3人，記關注民生問題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.
19.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請說明理由.
20.(12分)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當a<0時，求函數(shù)f(x)在 上的最小值;
(3)記函數(shù)y=f(x)的圖象為曲線C，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C于點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.
[選修4-4：參數(shù)方程與極坐標系]
22.(10分)在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|•|PN|的值.
[選修4-5：不等式選講]
23.在平面直角坐標系中，定義點P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點.
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立，求t的最小值.
2017湖南省郴州市高考數(shù)學模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
【考點】交集及其運算.
【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可.
【解答】解：由B中不等式變形得：x(x﹣2)>0，
解得：x<0或x>2，即B=(﹣∞，0)∪(2，+∞)，
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={3，4}，
故選：D.
【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.
2.設z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，若復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
【考點】復數(shù)求模.
【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則化簡復數(shù) ，然后求解向量 的模.
【解答】解：z=1﹣i(i是虛數(shù)單位)，
復數(shù) = = =1﹣i.
向量 的模： = .
故選：B.
【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，復數(shù)的模的求法，考查計算能力.
3.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
【考點】等比數(shù)列的前n項和.
【分析】設第一層有a盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以a1為首項，以 為公比的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果.
【解答】解：設第一層有a盞燈，
則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以a1為首項，以 為公比的等比數(shù)列，
∴ =381，
解得a1=192，
∴a5=a1×( )4=192× =12，
故選：B.
【點評】本題考查頂層有幾盞燈的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.
4.運行如圖所示的程序，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
【考點】程序框圖.
【分析】由程序框圖依次計算程序運行的結(jié)果，直到滿足條件x≤2時，計算y的值.
【解答】解：輸入x=256>2，x=log2256=8，
x=8>2，x=log28=3，
x=3>2，x=log23<2，
此時y= = ，
故選：A.
【點評】本題是循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，解答的關鍵是讀懂框圖的流程.
5.某地市高三理科學生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.
【解答】解：∵數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，P(80<ξ≤100)=0.35，
∴P(80<ξ≤120)=2×0.35=0.70，
∴P(ξ>120)= (1﹣0.70)=0.15，
∴100×0.15=15，
故選：C.
【點評】本題考查正態(tài)分布曲線，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關鍵，屬基礎題.
6.已知函數(shù)f(x)= sinx+3cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概型.
【分析】利用三角函數(shù)的輔助角公式求出當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵ sinx+3cosx=2 sin(x+ )≥ ，
∴sin(x+ )≥ ，
∵x∈[0，π]，x+ ∈[ ， ]，
∴ ≤x+ ≤ ，
∴0≤x≤ ，
∴發(fā)生的概率為P= ，
故選：B.
【點評】本題主要考查幾何概型的概率的計算，利用輔助角公式求出不等式的等價條件是解決本題的關鍵.
7.如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F(xiàn)為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
【考點】直線與平面所成的角.
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷A答案的對錯;根據(jù)線面角的定義，可以判斷C的對錯;根據(jù)等底同高的三角形面積相等及A的結(jié)論結(jié)合棱錐的體積公式，可判斷B的對錯;根據(jù)二面角的定義可以判斷D的對錯，進而得到答案.
【解答】解：A中，取B1C1的中點M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF為定值;
B中，∵P是動點，EF也是動點，推不出定值的結(jié)論，∴就不是定值.∴直線PE與平面QEF所成的角不是定值;
C中，∵△QEF的面積是定值.(∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值)，
再根據(jù)A的結(jié)論P到QEF平面的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定.∴三棱錐P﹣QEF的體積是定值;
D中，∵A1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點，E、F為CD上任意兩點，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小為定值.
故選：B.
【點評】本題考查的知識點是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點到平面的距離，其中兩線平行時，一條線的上的點到另一條直線的距離相等，線面平行時直線上到點到平面的距離相等，平面平行時一個平面上的點到另一個平面的距離相等是解答本題的關鍵.
8.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線x+y﹣1=0對稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標準方程轉(zhuǎn)化成x2+2y2=2b2，求得右焦點關于直線x+y﹣1=0對稱的點，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程.
【解答】解：由橢圓的離心率e= = ，則a= c，
由b2=a2﹣c2=c2，則b=c，
則設橢圓方程為x2+2y2=2b2，
∴右焦點(b，0)關于l：y=﹣x+1的對稱點設為(x′，y′)，則 ，解得 ，
由點(1，1﹣b)在橢圓上，得1+2(1﹣b)2=2b2，b2= ，a2= ，
∴橢圓的標準方程為： ，
故選：A.
【點評】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查點關于直線對稱的求法，考查計算能力，屬于中檔題.
9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導函數(shù)，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值范圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】由題意， < ≤ T，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，f(α)=0，f'(α)>0，
且f(x)在區(qū)間[α， +α)上沒有最小值，
∴ < ≤ T，
∴ < ≤ • ，
∴2<ω≤3，
故選C.
【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的周期性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
10.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設向量 =m +n (m，n為實數(shù))，則m+n的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【考點】向量在幾何中的應用.
【分析】如圖所示， =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).當圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時m+n取得最小值;當圓心為點C時，AP經(jīng)過圓心時，P( ， ).此時m+n取得最大值.
【解答】解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，向量 =m +n (m，n為實數(shù)); =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).
當動圓Q的圓心經(jīng)過點C時，如圖：P( ， ).
此時m+n取得最大值：4m+4n=8+ ，可得m+n=2+ .
當動圓Q的圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時，4m+4n=4﹣ ，m+n取得最小值為：1﹣ ;
∴則m+n的取值范圍為 .
故選：A.
【點評】本題考查了向量的坐標運算、點與圓的位置關系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
11.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
【考點】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖知該幾何體為四棱錐側(cè)面為左視圖，PE⊥平面ABC，E、F分別是對應邊的中點，底面ABCD是邊長是2的正方形，設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2+2=1+(2﹣h)2，求出h，并求出球的半徑，利用球的表面積公式求解.
【解答】解：由三視圖知該幾何體為四棱錐側(cè)面為左視圖，
PE⊥平面ABC，E、F分別是對應邊的中點，
底面ABCD是邊長是2的正方形，
設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，
則h2+2=1+(2﹣h)2，
∴h= ，R2= ，
∴幾何體的外接球的表面積S=4πR2= π，
故選B.
【點評】本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積，由三視圖正確復原幾何體以及正確確定外接球球心的位置是解題的關鍵，考查空間想象能力.
12.已知函數(shù) ，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域為[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
【考點】分段函數(shù)的應用.
【分析】畫出函數(shù)f(x)中兩個函數(shù)解析式對稱的圖象，然后求出能使函數(shù)值為2的關鍵點，進而可得實數(shù)a的取值范圍.
【解答】解：∵函數(shù) ，∴函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示：
∴函數(shù)f(x)在[﹣1，k)上為減函數(shù)，在[k，a]先減后增函數(shù)，
當﹣1
由于當x=1時，﹣x3﹣3x+2=0，
當x=a(a≥1)時，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函數(shù)f(x)的值域為[0，2]，
則a∈[1， ]，
故選：D.
【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的值域，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】設雙曲線方程，由題意可得丨AB丨= =2×2a，求得b2=2a2，根據(jù)雙曲線的離心率公式e= = ，即可求得C的離心率.
【解答】解：設雙曲線方程： (a>0，b>0)，
由題意可知，將x=c代入，解得：y=± ，
則丨AB丨= ，
由丨AB丨=2×2a，
則b2=2a2，
∴雙曲線離心率e= = = ，
故答案為： .
【點評】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計算能力，屬于基礎題.
14.已知 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中含x的系數(shù)為 ﹣41 .
【考點】二項式定理的應用.
【分析】根據(jù)展開式中各項系數(shù)的和2求得m的值，再把二項式展開，求得該展開式中含x的系數(shù).
【解答】解：∵已知 的展開式中各項系數(shù)的和為m+1=2，∴m=1，
∴ =(x+ )•( •(2x)5﹣ •(2x)4+ •(2x)3﹣ •(2x)2+ •2x﹣ )，
則該展開式中含x的系數(shù)為﹣ ﹣ •4=﹣41，
故答案為：﹣41.
【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題.
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內(nèi)的任意一點M，平面內(nèi)有一點D使得 ，則 = 6 .
【考點】向量在幾何中的應用.
【分析】據(jù)題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角坐標系，得到A(0，3)，并設M(x，y)，D(x′，y′)，B(b，0)，這樣根據(jù)條件 即可得到 ，即得到 ，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出 的值.
【解答】解：根據(jù)題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：
A(0，3)，設M(x，y)，B(b，0)，D(x′，y′);
∴由 得：
3(x′﹣x，y′﹣y)=(b﹣x，﹣y)+2(﹣x，3﹣y);
∴ ;
∴ ;
∴ .
故答案為：6.
【點評】考查通過建立平面直角坐標系解決向量問題的方法，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，向量坐標的數(shù)乘和數(shù)量積運算.
16.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是 (﹣ ， ) .
【考點】數(shù)列遞推式.
【分析】由數(shù)列遞推式求出首項，寫出n≥2時的遞推式，作差后對n分偶數(shù)和奇數(shù)討論，求出數(shù)列通項公式，可得函數(shù)an= ﹣1(n為正奇數(shù))為減函數(shù)，最大值為a1=﹣ ，函數(shù)an=3﹣ (n為正偶數(shù))為增函數(shù)，最小值為a2= ，再由(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立求得實數(shù)t的取值范圍.
【解答】解：由Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3，得a1=﹣ ;
當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=(﹣1)nan+ +n﹣3﹣(﹣1)n﹣1an﹣1﹣ ﹣(n﹣1)+3
=(﹣1)nan+(﹣1)nan﹣1﹣ +1，
若n為偶數(shù)，則an﹣1= ﹣1，∴an= ﹣1(n為正奇數(shù));
若n為奇數(shù)，則an﹣1=﹣2an﹣ +1=2( ﹣1)﹣ +1=3﹣ ，
∴an=3﹣ (n為正偶數(shù)).
函數(shù)an= ﹣1(n為正奇數(shù))為減函數(shù)，最大值為a1=﹣ ，
函數(shù)an=3﹣ (n為正偶數(shù))為增函數(shù)，最小值為a2= ，
若(t﹣an+1)(t﹣an)<0恒成立，
則a1
故答案為：(﹣ ， ).
【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項公式的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(12分)(2017•郴州三模)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點.
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長.
【考點】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由已知及余弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面積公式即可得解△ABC的面積的最大值.
(2)設∠ACD=θ，利用三角形面積公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，進而利用正弦定理可求BC的值.
【解答】(本題滿分為12分)
解：(1)∵ ，
∴由余弦定理可得： …(2分)
∴ ，…(4分)
∴ ，
所以△ABC的面積的最大值為 …(6分)
(2)設∠ACD=θ，在△ACD中， ，
∴ ，解得： ，∴ …(7分)
由余弦定理得： ，
∴ ，…(9分)
∵ ，∴ ，
∴ ，此時 ，
∴ .…(12分)
【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，同角三角函數(shù)基本關系式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
18.(12分)(2017•郴州三模)2017年郴州市兩會召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會熱點大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問題時百姓最為關心的熱點，參與調(diào)查者中關注此問題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中隨機選出3人，記關注民生問題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.
【考點】離散型隨機變量的期望與方差;頻率分布直方圖;離散型隨機變量及其分布列.
【分析】(1)由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應抽取7人，設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率.
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望.
【解答】解：(1)由頻率分布直方圖得：
(0.01+0.015+0.03+a+0.01)×10=1，
解得a=0.035.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應抽取 =7人，
設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，
則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，
則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：
P(A)=1﹣P( )=1﹣ = .
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，
且P(X=k)= ，k=0，1，2，3，
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
EX=np=3× = .
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖、對立事件概率乘法公式、二項分布的合理運用.
19.(12分)(2017•郴州三模)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請說明理由.
【考點】平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)利用三角形中位線定理推導出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC.
(2)以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1.
【解答】(Ⅰ)證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC.
(2)解：以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，
過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0， )，
E( )，F(xiàn)( )，
， ，
設Q(2，y，0)，面AEF的法向量為 ，
則 ，
取z= ，得 ， ，
|cos< >|= = ，
|cos< >|= = ，
依題意，得|cos< >|=|cos< >|，
∴y=±1.
∴直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1.
【點評】本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的'合理運用.
20.(12分)(2017•郴州三模)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值.
【考點】圓錐曲線的綜合;軌跡方程.
【分析】(1)利用代入法，求曲線C的方程;
(2)設切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0)，圓心(2，0)到切線的距離d= =2，整理可得 ，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性球心最小值.
【解答】解：(1)設P(x，y)，則點N(2x，2y)在拋物線E：y2=8x上，
∴4y2=16x，
∴曲線C的方程為y2=4x;
(2)設切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0).
令y=0，可得x= ，
圓心(2，0)到切線的距離d= =2，
整理可得 .
設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1+k2= ，k1k2= ，
∴△QAB面積S= |(x0﹣ )﹣(x0﹣ )|y0=2•
設t=x0﹣1∈[4，+∞)，則f(t)=2(t+ +2)在[4，+∞)上單調(diào)遞增，
∴f(t)≥ ，即△QAB面積的最小值為 .
【點評】本題考查直線與拋物線的綜合運用，具體涉及到拋物線的基本性質(zhì)及應用，直線與拋物線的位置關系、圓的簡單性質(zhì)等基礎知識，軌跡方程的求法和點到直線的距離公式的運用.
21.(12分)(2017•郴州三模)已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當a<0時，求函數(shù)f(x)在 上的最小值;
(3)記函數(shù)y=f(x)的圖象為曲線C，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C于點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(1)求出函數(shù)f(x)的導函數(shù)，由a>0，定義域為(0，+∞)，再由f′(x)>0求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當a<0時，求出導函數(shù)的零點﹣ ，1，分﹣ >1， ≤﹣ ≤1，﹣ < ，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，最后表示為關于a的分段函數(shù);
(3)設出線段AB的中點M的坐標，得到N的坐標，由兩點式求出AB的斜率，再由導數(shù)得到曲線C過N點的切線的斜率，由斜率相等得到ln = ，令 =t后構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt﹣ (t>1)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷不成立.
【解答】解：(1)∵f(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx，
∴f′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = ，
∵a>0，x>0，
∴2ax+1>0，解f′(x)>0，得x>1，
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞);
(2)當a<0時，由f′(x)=0，得x1=﹣ ，x2=1，
�、佼敥� >1，即﹣
∴f(x)在[ ，1]上的最小值為f(1)=1﹣a.
�、诋� ≤﹣ ≤1，即﹣1≤a≤﹣ 時，
f(x)在[ ，﹣ ]上是減函數(shù)，在[﹣ ，1]上是增函數(shù)，
∴f(x)的最小值為f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).
�、郛敥� < ，即a<﹣1時，f(x)在[ ，1]上是增函數(shù)，
∴f(x)的最小值為f( )= ﹣ a+ln2.
綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ，1]上的最小值為：
f(x)min= ;
(3)設M(x0，y0)，則點N的橫坐標為x0= ，
直線AB的斜率k1= = [a(x12﹣x22)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]
=a(x1+x2)+(1﹣2a)+ ，
曲線C在點N處的切線斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1﹣2a)﹣ =a(x1+x2)+(1﹣2a)﹣ ，
假設曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則k1=k2，
即 =﹣ ，
∴ln = = ，
不妨設x11，則lnt= ，
令g(t)=lnt﹣ (t>1)，則g′(t)= ﹣ = >0，
∴g(t)在(1，+∞)上是增函數(shù)，又g(1)=0，
∴g(t)>0，即lnt= 不成立，
∴曲線C在點N處的切線不平行于直線AB.
【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明等式恒成立問題，特別是對于(3)的證明，要求學生較強的應變能力，是壓軸題.
[選修4-4：參數(shù)方程與極坐標系]
22.(10分)(2017•郴州三模)在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|•|PN|的值.
【考點】簡單曲線的極坐標方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得普通方程.曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，利用平方關系可得直角坐標方程.把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極坐標方程.
(II)P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為： +1=0，|PM|•|PN|=|t1•t2|.
【解答】解：(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得：x+y﹣1=0.
曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，利用平方關系可得：x2+(y﹣2)2=4.
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極坐標方程為：ρ=4sinθ.
(II)P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為： +1=0，
t1+t2=3 ，t1•t2=1，
∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1.
【點評】本題考查了極坐標方程的應用、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•郴州三模)在平面直角坐標系中，定義點P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點.
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立，求t的最小值.
【考點】兩點間距離公式的應用;函數(shù)恒成立問題.
【分析】(1)根據(jù)定義寫出L(A，B)，L(A，C)的表達式，最后通過解不等式求出x的取值范圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恒成立即當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用絕對值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可.
【解答】解：(1)由定義得|x﹣1|+1>|x﹣5|+1，
即|x﹣1|>|x﹣5|，兩邊平方得8x>24，
解得x>3;
(2)當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，
也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，
因為|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|(x﹣1)﹣(x﹣5)|=4，所以t≥4，tmin=4.
故t的最小值為：4.
【點評】本題考查新定義：直角距離的理解和運用，考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題.
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